用AI解偏微分方程，這段時(shí)間確實(shí)有點(diǎn)火。

但是什么樣的AI解決方案是最好的，卻沒有統(tǒng)一的結(jié)論。

現(xiàn)在終于有人為這個(gè)領(lǐng)域做了一個(gè)完整的基準(zhǔn)叫做PDEBench，論文已經(jīng)發(fā)表在NeurIPS 2022上。

PDEBench不僅可以作為偏微分方程的大數(shù)據(jù)集，還可以作為新AI求解偏微分方程的基準(zhǔn)之一——

這里可以找到很多老前輩的預(yù)訓(xùn)模型代碼作為對(duì)比依據(jù)。

比如去年大火的FNO，幾秒鐘就解決了偏微分方程，代碼放入PDEBench。

這個(gè)新標(biāo)桿一出，樂存也熱情轉(zhuǎn)發(fā):這個(gè)領(lǐng)域真的很熱。

那么，AI在求解偏微分方程方面有哪些優(yōu)勢(shì)，該基準(zhǔn)具體提出了哪些評(píng)測(cè)方法。

為什么要用AI解偏微分方程。

偏微分方程是生活中常見的方程。

這個(gè)方程將用于預(yù)測(cè)天氣，模擬飛機(jī)空氣動(dòng)力學(xué)和預(yù)測(cè)疾病傳播模型。

目前，北大數(shù)學(xué)系沈偉魏東義的研究方向之一是流體力學(xué)中的數(shù)學(xué)問題，包括偏微分方程中的Navier—Stokes方程。

那么，為什么要用AI來解偏微分方程呢。

AI訓(xùn)練的本質(zhì)是找到一個(gè)盡可能接近真實(shí)結(jié)果的模型。

用AI求解偏微分方程，其實(shí)就是找一個(gè)代理模型來模擬偏微分方程模型。

代理模型是指找到一個(gè)近似模型，在計(jì)算量較少的情況下，保證計(jì)算結(jié)果盡可能與原偏微分方程相似。

這類似于傳統(tǒng)的求解偏微分方程的數(shù)值方法。

傳統(tǒng)方法往往需要對(duì)連續(xù)問題進(jìn)行離散化來逼近方程。

但是傳統(tǒng)的數(shù)值方法非常復(fù)雜，需要大量的計(jì)算。人工智能方法訓(xùn)練的模型速度快，模擬效果好—

繼2017年華盛頓大學(xué)提出PDE—FIND之后，2018年Google AI提出了數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方法求解偏微分方程，比傳統(tǒng)方法快了很多，讓更多人開始關(guān)注AI求解偏微分方程的領(lǐng)域。

2019年，布朗大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)團(tuán)隊(duì)提出了一種叫做PINN的方法，徹底開啟了AI在物理領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用。

雖然這篇論文在理論上沒有PDE—FIND和Google AI的方法那么有突破性，但是它給出了非常完整的代碼體系，方便開發(fā)者入門，也讓更多的研究者開發(fā)出不同的PINN現(xiàn)在已經(jīng)成為AI物理中最常見的框架和詞匯之一

平

去年，加州理工學(xué)院和普渡大學(xué)的團(tuán)隊(duì)發(fā)表的一項(xiàng)研究將偏微分方程的計(jì)算時(shí)間從18小時(shí)減少到1秒。

本文提出了一種稱為FNO的方法，它在基于傅立葉變換的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中加入了傅立葉層，進(jìn)一步節(jié)省了近似模擬算子的計(jì)算。

此外，許多研究人員訓(xùn)練一些經(jīng)典的人工智能模型來求解偏微分方程，如U—Net。

可是，無論是FNO，優(yōu)網(wǎng)還是PINN，他們?nèi)匀换诟髯缘幕鶞?zhǔn)來評(píng)價(jià)AI在計(jì)算偏微分方程方面的效果。

有沒有更統(tǒng)一通用的框架來評(píng)價(jià)該領(lǐng)域的新突破。

更全面的人工智能偏微分方程基準(zhǔn)

在這種背景下，研究人員提出了一個(gè)名為PDEBench的基準(zhǔn)。

首先，基準(zhǔn)中包含的數(shù)據(jù)集。目前這些數(shù)據(jù)集已經(jīng)全部匯總在GitHub中:

它包括許多經(jīng)典的偏微分方程，如Navier—Stokes方程，Darcy流模型，淺水波模型等。

隨后，PDEBench提出了幾個(gè)指標(biāo)，從不同角度更全面地評(píng)價(jià)AI模型:

最后，PDEBench還包含了幾個(gè)經(jīng)典模型的預(yù)訓(xùn)練模型代碼，并將其作為評(píng)測(cè)其他模型的基準(zhǔn)之一，包括FNO，U—Net，PINN等上面提到的

例如，研究團(tuán)隊(duì)分別基于每個(gè)數(shù)據(jù)集對(duì)這些模型進(jìn)行訓(xùn)練，得到的均方根誤差如下，這也說明了它們?cè)诓煌⒎址匠躺系谋憩F(xiàn)是不同的:

此外，該團(tuán)隊(duì)統(tǒng)一了數(shù)據(jù)格式，優(yōu)化了PDEBench的可擴(kuò)展性，因此任何人都可以參與向該基準(zhǔn)添加更多的數(shù)據(jù)集或基準(zhǔn)模型。

值得注意的是，團(tuán)隊(duì)嘗試分別在PyTorch和JAX框架上運(yùn)行幾個(gè)預(yù)訓(xùn)練模型，發(fā)現(xiàn)JAX的速度是PyTorch的6倍左右。

看來，我們今后可以嘗試用JAX框架進(jìn)行相關(guān)研究。

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論文地址:

PDEBench地址:

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