歐拉提出了一個類似于6×6數獨的36名軍官問題:從6個團中選出6個不同軍銜的36名軍官，這36名軍官排列成一個方陣各排各列軍官的團和軍銜可以不一樣嗎后來數學家證明，類似的5階和7階問題有解，6階無解后來一群物理學家腦洞大開:如果每個軍官都是兩個團兩個軍銜的疊加狀態，這個問題有沒有解決的辦法

數獨游戲在全世界都很受歡迎不管你喜不喜歡他們，你至少聽說過這個游戲的規則:一個9×9的格子被分成9個3×3的宮殿把數字1~9填在這些方格里，確保每行，每列，每宮都沒有重復的數字一般一個數獨游戲會給出一些提示，剩下的數字需要玩家推理來填充就是這么簡單的規則，衍生出了很多解題技巧，吸引了無數玩家

數獨的前身可以追溯到18世紀的歐洲，當時數學家萊昂哈德·歐拉總結了一種叫做拉丁方塊的流行填字游戲游戲的規則是在N階的正方形格子中填入N種拉丁字母，這樣每行每列的字母就不會重復這種方陣不限于9階，也不受宮位限制，但保留了數獨最基本的要求每行每列不重復

但讓歐拉著迷的是更復雜版本的拉丁方陣歐拉考慮用一個拉丁字母和一個希臘字母填充每個網格，這樣每行和每列的字母就不會重復，每個網格中的希臘—拉丁字母對也不會重復這種正方形被稱為希臘—拉丁正方形，其本質是將兩個正交的拉丁正方形組合成一個正方形這里的正交性是指兩個正方形對應的格子形成的有序對不重復如果你也想試試，格子里的元素不一定是希臘和拉丁字母，也可以用撲克牌的顏色組合，甚至是有序的數字對

同樣的三階希臘—拉丁方塊，用字母，撲克顏色和有序數字對來表示。未解決的36位官員問題

歐拉在仔細考察希臘—拉丁方后發現了一個有趣的現象:可以構造3，4，5，7階的希臘—拉丁方，但不能構造2，6階的希臘—拉丁方2階的問題很容易處理從窮舉法可以看出，這樣的希臘拉丁方陣是不存在的，而6階的問題相對復雜歐拉用更通俗的語言重復了這個問題:從6個團中各選出6個不同軍銜的36名軍官，這36名軍官排成一個方陣各排各列軍官的團和軍銜可以不一樣嗎

3，4，5，7級軍官問題解決方案格子的顏色代表軍團，格子里的符號代表軍銜

歐拉認為這個36官問題是無解的，即不存在6階希臘—拉丁方陣他猜測所有被4 ^ 2整除的希臘—拉丁方不存在，也就是說，2，6，10，14階的希臘—拉丁方不存在...并不存在

一個多世紀后的1901年，法國數學家加斯東·程昕婷用窮舉法證明了按規則構造的6階方陣的網格中的元素會一直重復，6階希臘—拉丁方陣不存在1959年，一些數學家證明歐拉的進一步猜想不成立，也就是說，除了2階和6階，其他階的希臘—拉丁方陣都存在至此，這個關于數獨原版的問題有了數學上的答案

量子解

時間來到21世紀，一群物理學家重新發現了36個軍官的歐拉問題雖然這個問題在數學上已經塵埃落定，但他們從物理角度開了一個腦洞:如果這36名軍官處于量子疊加狀態，每個軍官部分屬于一個團一個軍銜，部分屬于另一個團另一個軍銜，這個問題還會解決嗎

沿著這個思路，一些物理學家修改了希臘—拉丁方陣的規則，給出了數獨的量子版本在量子力學中，物體的狀態可以用矢量來表示在量子版的36軍官問題中，每個軍官所在的團可以表示為一個6維空間中的向量，他的軍銜可以表示為另一個6維空間中的向量因為軍官可以處于各種疊加狀態，這些向量可以不同，他們排列的6×6方陣很容易滿足每行每列向量不同的要求，但不值得研究物理學家感興趣的是每一行和每一列的向量是否構成他們空間的一組標準正交基

要理解所謂的標準正交基，可以打個比方在熟悉的三維空間中，我們可以建立一個直角坐標系，坐標系中沿X，Y，Z軸的單位向量形成一組標準的正交基這三個向量滿足以下要求:方向成對垂直，大小為單位長度36軍官問題可以類似的理解，就是說6×6方陣中代表軍官兵團和軍銜的向量要滿足以下要求:每行和每列的向量是成對垂直的，大小是單位長度

其實代表兵團的六維空間和代表軍銜的六維空間可以展開成一個36維的空間，每個軍官的兵團和軍銜都可以用這個36維空間中的一個向量來表示這些向量排列的6×6方陣還是需要滿足的:每一行每一列的向量都是成對垂直的，大小是單位長度

在最近提交給《物理評論快報》的一篇預印論文中，來自印度理工學院，波蘭賈格隆大學和其他機構的物理學家找到了對這一量子版36位官員問題的理解首先，他們構造了一個經典的6×6希臘—拉丁方陣的近似解，然后在計算機的幫助下將近似解調整為量子版本他們使用一種算法來實現這一點這個算法有點像暴力破解魔方先拼第一行，再拼第一列和第二列，以此類推，直到最后拼出完整的魔方當他們一遍又一遍地重復算法時，得到了量子版36官問題的解

量子36版軍官問題的解決方案每個格子中的牌都是兩點兩種花色的疊加狀態，其中字體的大小反映了疊加分量的大小

本文用撲克牌代替軍官:點A，K，Q，J，10，9代替軍團，色，，，，而不是等級在最終的量子解中，每個格子上的牌都是兩點兩花色的疊加狀態值得注意的是，每當網格中出現點數A時，疊加在上面的點數一定是K，同q，10，9而每當格子里有一種顏色，疊加在上面的顏色一定是，與，和相同這說明量子糾纏是成對的點和色發生的也是因為糾纏態，整個方陣無法像經典的希臘—拉丁方陣一樣，按照點數和顏色分解成兩個獨立的拉丁方陣這也是量子拉丁方陣的特殊之處

研究人員表示，這個古老數獨問題的量子解相當于一個四粒子系統的絕對最大糾纏態這種糾纏態可以應用于量子計算中的糾錯等很多場景比如量子計算機中冗余信息以這種狀態存儲時，即使數據被破壞，信息也能保存下來這個起源于歐拉的古老數學問題，在243年后得到了物理學的新解答也許這對于理論物理學家來說只是一個好玩的腦洞，但對于量子通信和量子計算的研究人員來說卻是大有裨益的科學進步往往發生在這樣的游戲中

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